Semnul funcției de gradul doi. Aplicații

Sarcina de lucru pentru elevi:

Astăzi vom studia ”Semnul funcției de gradul doi” adică, vom determina valorile lui x pentru care funcția este pozitivă sau negativă sau nulă!
SEMNUL FUNCȚIEI DE GRADUL DOI
util în rezolvarea inecuațiilor –

Semnul funcției de gradul al doilea se stabilește în funcție de semnul lui ”a” – coeficientul dominant (coef. lui x2) și semnul lui ”∆ = b2 – 4ac”:
Atașăm funcției ecuația: ax2 +bx+c=0; Calculăm ”∆ = b2 – 4ac”:
∆>0, ecuația admite două rădăcini reale și diferite, x1 = (-b+√∆)/2a și
x2 = (-b-√∆)/2a, atunci semnul funcției este (S.O.S)( x=(-b±√(b^2-4ac))/2a). Axa OX este secantă la parabolă!

x -∞ x1 x2 +∞
f(x) Sgn a 0 sgn opus a 0 sgn a

∆=0, ecuația admite două rădăcini reale și egale, x1 = x2 = (-b)/2a, atunci semnul funcției este peste tot semnul lui ”a”, mai puțin pentru x=(-b)/2a unde valoarea funcției este zero! ( pentru ”a” pozitiv, f(x) ≥0 , pentru orice x real; pentru ”a” negativ, f(x)≤0, pentru orice x real) Graficul funcției este tangent la axa Ox în punctul de tangență V=vârful parabolei.
x -∞ x1 +∞
f(x) Sgn a 0 sgn a

∆<0, ecuația nu admite rădăcini reale, atunci semnul funcției este semnul lui ”a” pentru oice x real ( pentru ”a” pozitiv, f(x)>0, pentru orice x real și pentru ”a” negativ, f(x)<0, pentru orice x real). Graficul funcției nu intersectează axa Ox.
x -∞ +∞
f(x) sgn a

Observații:
Semnul funcției de gradul al doilea ne ajută să rezolvăm inecuații!
Ex. Rez. Inec. : -x2 +5x-6<0 f(x) =-x2 +5x-6; -x2 +5x-6=0, x1=2 și x2=3 (∆>0), a = -1
x -∞ 2 3 +∞
f(x) ––––––––0 +++++++ 0 –––––
Soluție inecuație xϵ(- ∞, 2)∪(3, ∞)

Semnul funcției ne dă informații privind poziția parabolei față de axa Ox.
f(x)>0, parabola este deasupra axei Ox,
f(x)=0, parabola taie axa Ox,
f(x)< 0, parabola este sub axa Ox. Fie f(x) =mx2 -2mx +7, m număr real. Determinați valorile reale ale lui m pentru care f(x) ≥0, oricare x real. Ținând cont de semnul funcției de gradul al doilea, ne încadrăm la cazul II. sau III. și punem condițiile: m>0 și ∆≤0. Rezolvând sistemul de condiții obținem mϵ (0, 7], soluție.

Temă: wordwall.net/ro/resource/2650094/

Pentru studiu, vă recomand și youtube.com/watch?v=V_6qsVcPyvk

Rezultate așteptate ale învățării (competențe și/sau obiective):

Să stabilească semnul funcției de gradul doi în funcție de semnul lui ”a” și semnul lui ∆;
Să înțeleagă legătura dintre semnul funcției și poziția graficului față de axa Ox;
Să aplice semnul funcției de gradul doi în rezolvarea inecuațiilor;
Să recunoască semnul funcției după reprezentarea parabolei.

Tip de activitate: Activitate în clasă
Sarcina de lucru se va realiza: În colaborare

Modul probabil de desfășurare a activității:

Se vor forma echipe de 3 - 4 elevi, după prietenii, vor accesa linkul cu tema, ”Roata” sau ”Caseta” vor apăsa pentru pornire și vor studia primul desen. Vor căuta în notițe: ” Când graficul arată așa ...”, vor urmări semnul lui ”a”, numărul punctelor de intersecție cu axa Ox și poziția parabolei față de axa OX. Vor determina semnul solicitat în cerință citind valorile lui x de pe axa Ox. Pentru TEMA de acasă se recomandă: https://www.youtube.com/watch?v=V_6qsVcPyvk, spre studiu și rezolvarea testului: https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScqNx6kcHe5lP-4qj61G8NYUiditbF2DBViol4a1ToWSpKpxA/viewform . Elevii vor studia individual, în ritm propriu, teoria și rezolvarea inecuațiilor pe bază de semn de funcție de gradul doi și vor rezolva testul individual cu posibilitate de evaluare și determinare răspunsuri corecte și incorecte!